Question

【题目】如图，在中，，AC＝BC，点D是AC延长线上一点，连结BD．将绕着点C顺时针旋转90°得到，延长AE交BD于F．

（1）依据题意补全图1；

（2）判断AE与BD的位置关系，说明理由；

（3）连结CF，求的度数．

要想求出的度数，小明经过思考，得到了以下几种想法：

想法1：在AF上取一点G，使得AG＝BF，需要先证明，然后再证明是等腰直角三角形．

想法2：取AB的中点O，连接OC，OF，只需要利用圆的性质证明．

想法3：将绕点C逆时针旋转90°，得到，只需证明是等腰直角三角形．

请你参考上面的想法，帮助小明求解．（写出一种方法即可）

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

（1）根据题意补全图形即可；

（2）利用旋转的性质得出，再利用同角的余角相等即可得出结论；

（3）想法1、利用SAS判断出即可得出结论；想法2、利用即可判断出点A，B，F，C四点在以O为圆心OA为半径的圆上即可得出结论；想法3，利用旋转的性质判断出是等腰直角三角形即可得出结论．

（1）补全图形如图1所示．

（2）∵将绕着点C顺时针旋转90°得到

，

．

，

．

．

，

．

．

（3）想法1、如图2， 在AF上取一点G，使得，连接CG．

，，，

．

，．

，

．

∴△CFG是等腰直角三角形．

．

想法2、如图3，

取AB的中点O，连接OC，OF，CF，

是直角三角形，

，

由（2）知，，

，

，

∴点A，B，F，C在以O为圆心，OA为半径的圆上，

，

想法3、如图4，

将绕点C逆时针旋转90°得到，

，，

是等腰直角三角形，

，

由（1），

∴点G在BD的延长线上，

由（2）知，，

．