Question

如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，BP=3

3

（单位：km）有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．
（1）求A、B两个观测站之间的距离；
（2）小船从点P处沿射线AP的方向以

3

千米/时的速度进行沿途考查，航行一段时间后到达点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向，求小船沿途考察的时间．（结果有根号的保留根号）

Answer 1

考点：解直角三角形的应用-方向角问题

专题：

分析：（1）过点P作PD⊥AB于点D，先解Rt△PBD，得到BD和PD的长，再解Rt△PAD，得到AD和AP的长，然后根据BD+AD=AB，即可求解；
（2）过点B作BF⊥AC于点F，先解Rt△ABF，得出BF和AF的长，再解Rt△BCF，得出CF的长，可求PC=AF+CF-AP，从而求解．

解答：解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．
在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°-45°=45°，
∴BD=PD=

3 6

2

km．
在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°-60°=30°，
∴AD=

3

PD=

9 2

2

km，PA=3

6

．
∴AB=BD+AD=（

3 6

2

+

9 2

2

）km；

（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F．
根据题意得：∠ABC=105°，
在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，
∴BF=

1

2

AB=（

3 6

4

+

9 2

4

）km，AF=

3

2

AB=（

9 2

4

+

9 6

4

）km．
在△ABC中，∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°．
在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，
∴CF=BF=（

3 6

4

+

9 2

4

）km，
∴PC=AF+CF-AP=

9 2

2

km．
故小船沿途考察的时间为

9 2

2

÷

3

=

3 6

2

小时．

点评：本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，难度适中．通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．