Question

如图，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°．求：
（1）∠ABC的度数；
（2）AD、CD的长．

Answer 1

考点：含30度角的直角三角形,矩形的判定与性质

专题：

分析：此题可以过点B作两边的垂线，可得两个30°的直角三角形和一个矩形．
（1）根据周角是360°和直角三角形的性质求解；
（2）根据30°的直角三角形的性质和矩形的性质就可求解．

解答：解：如图所示，过B点分别作BE⊥AD于E，BF⊥CD于F．
由AD⊥CD知四边形BEDF为矩形．
则ED=BF，FD=BE．
（1）在Rt△AEB中，∠A=30°，∠AEB=90°，
∴∠ABE=60°．
同理，∠CBF=60°，
∴∠ABC=360°-60°-60°-90°=150°；

（2）在Rt△AEB中，∠AEB=90°，∠A=30°，AB=10．
∴BE=

1

2

AB=5，AE=

3

BE=5

3

．
在Rt△CFB中，
∠CFB=90°，∠C=30°，BC=20，
∴BF=

1

2

BC=10，CF=

3

BF=10

3

．
∴AD=AE+ED=5

3

+10，
∴CD=CF+FD=10

3

+5．

点评：本题考查了含30度角的直角三角形和矩形的性质．能够通过作垂线，发现直角三角形和矩形是解题的难点．