Question

3．如图，在△ABC中，BC=12，∠BAC=100°，AB的垂直平分线交BC于点E，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点M．
（1）求△AEN的周长．
（2）求∠EAN的度数．
（3）如果DE交MN于点P，猜想△PBC的形状．

Answer 1

分析 （1）由线段垂直平分线的性质可知：BE=AE，AN=NC，从而求得△AEN的周长；
（2）由三角形的内角和定理求得∠B+∠C=80°，然后根据等腰三角形的性质可知∠BAE+∠NAC=80°，故此可求得∠EAN=20°；
（3）连接AP、BP、CP，由线段垂直平分线的性质可知；PB=PA=PC，从而得到PB=PC．

解答 解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE．
同理；AN=NC．
∴△AEN的周长=AE+EN+AN=BE+EN+NC=BC=12．
（2）∵AE=BE，AN=NC，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAN．
∵∠BAC=100°，
∴∠B+∠C=80°．
∴∠BAE+∠NAC=80°．
∴∠EAN=100°-80°=20°；
（3）如图所示：连接PA、PB、PC．

∵DP垂直平分AB，
∴PA=PB．
同理：PA=PC．
∴PB=PC．
∴△PBC为等腰三角形．

点评 本题主要考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、三角形的内角和定理，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．