题目内容
如图，已知抛物线y1=-x2+bx+c（a≤O）与直线AB：y=kx+l交于A（-4，0）、B（0，4）；将抛物线y1沿y轴翻折得到抛物线y2且交x轴于点C．（1）求直线AB与抛物线y1的表达式；
（2）求抛物线y2的表达式；
（3）点P是直线BC上方的抛物线y2上的动点，过点P作PQ⊥x轴交直线BC于Q，以PQ为边作正方形PQMN；设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示PQ的长，并求出当m为何值时，正方形PQMN的周长最长；
（4）在满足第（3）问的前提下，当m=1时，若点E是抛物线y1上的动点，点F是直线AB上的动点，是否存在点F，使得以PQ为边，点P、Q、E、F顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）把A（-4，0）、B（0，4）分别代入抛物线y1=-x2+bx+c（a≤O）与直线AB：y=kx+l，求出b，c，k，l的值即可；
（2）因为抛物线y1=-x2+bx+c（a≤O）与抛物线y2关于y轴对称，A（-4，0），所以可求出c的值，进而求出a的值，问题得解；
（3）设点p（m，-m2+3m+4），Q（m，-m+4），（0＜m＜4），所以PQ=（-m2+3m+4）-（-m+4）=-m2+4m，所以正方形PQMN的周长=4PQ=-4（m-2）2+16（0＜m＜4），利用二次函数的性质即可得到当m为何值时，正方形PQMN的周长最长；
（4）存在，当以PQ为边时，要使四边形EFQP是平行四边形，需满足EF∥PQ，EF=PQ；以PQ为边时，要使四边形FEQP是平行四边形，需满足EF∥PQ，EF=PQ，进而求出点F的坐标．
（2）因为抛物线y1=-x2+bx+c（a≤O）与抛物线y2关于y轴对称，A（-4，0），所以可求出c的值，进而求出a的值，问题得解；
（3）设点p（m，-m2+3m+4），Q（m，-m+4），（0＜m＜4），所以PQ=（-m2+3m+4）-（-m+4）=-m2+4m，所以正方形PQMN的周长=4PQ=-4（m-2）2+16（0＜m＜4），利用二次函数的性质即可得到当m为何值时，正方形PQMN的周长最长；
（4）存在，当以PQ为边时，要使四边形EFQP是平行四边形，需满足EF∥PQ，EF=PQ；以PQ为边时，要使四边形FEQP是平行四边形，需满足EF∥PQ，EF=PQ，进而求出点F的坐标．
解答：解：（1）∵已知抛物线y1=-x2+bx+c（a≤O）与直线AB：y=kx+l交于A（-4，0）、B（0，4），
∴
，
．
∴b=-3，k=1．
∴y1=-x2-3x+4；AB：y=x+4；
（2）∵抛物线y1=-x2+bx+c（a≤O）与抛物线y2关于y轴对称，A（-4，0），
∴C（4，0），a=-1．
设y2=-x2+nx+c（a≤O），由于y2过点C（4，0），
∴-16+4n+4=0，
解得：n=3，
∴y2=-x2+3x+4（a≤O）；
（3）∵直线BC：y=kx+b过点C（4，0），B（0，4），
∴直线BC的解析式为y=-x+4，
设点p（m，-m2+3m+4），Q（m，-m+4），（0＜m＜4），
∴PQ=（-m2+3m+4）-（-m+4）=-m2+4m，
∴正方形PQMN的周长=4PQ=-4（m-2）2+16（0＜m＜4），
∴当m=2时，周长最长；
（4）存在，理由如下：
当m=1时，yP=6，yQ=3，
∴P（1，6），Q（1，3），PQ=yP-yQ=6-3=3，
以PQ为边时，要使四边形EFQP是平行四边形，需满足EF∥PQ，EF=PQ．
设点E（n，-n2-3n+4），F（n，n+4）（n≤0），
∴EF=（-n2-3n+4）-（n+4），
∴-n2-4n=3，
∴n=-1或-3，
∴F1（-1，3），F2（-3，1），
以PQ为边时，要使四边形FEQP是平行四边形，需满足EF∥PQ，EF=PQ．
∴EF=（n+4）-（-n2-3n+4）=n2+4n，
∴n2+4n=3，
∴n=-2-
或-2+
（舍去）．
∴F3（-2-
，2-
），
即：存在点F使得以点P、Q、E、F为顶点的平行四边形：
F1（-1，3），F2（-3，1），F3（-2-
，2-
）．
∴
|
|
∴b=-3，k=1．
∴y1=-x2-3x+4；AB：y=x+4；
（2）∵抛物线y1=-x2+bx+c（a≤O）与抛物线y2关于y轴对称，A（-4，0），
∴C（4，0），a=-1．
设y2=-x2+nx+c（a≤O），由于y2过点C（4，0），
∴-16+4n+4=0，
解得：n=3，
∴y2=-x2+3x+4（a≤O）；
（3）∵直线BC：y=kx+b过点C（4，0），B（0，4），
∴直线BC的解析式为y=-x+4，
设点p（m，-m2+3m+4），Q（m，-m+4），（0＜m＜4），
∴PQ=（-m2+3m+4）-（-m+4）=-m2+4m，
∴正方形PQMN的周长=4PQ=-4（m-2）2+16（0＜m＜4），
∴当m=2时，周长最长；
（4）存在，理由如下：
当m=1时，yP=6，yQ=3，
∴P（1，6），Q（1，3），PQ=yP-yQ=6-3=3，
以PQ为边时，要使四边形EFQP是平行四边形，需满足EF∥PQ，EF=PQ．
设点E（n，-n2-3n+4），F（n，n+4）（n≤0），
∴EF=（-n2-3n+4）-（n+4），
∴-n2-4n=3，
∴n=-1或-3，
∴F1（-1，3），F2（-3，1），
以PQ为边时，要使四边形FEQP是平行四边形，需满足EF∥PQ，EF=PQ．
∴EF=（n+4）-（-n2-3n+4）=n2+4n，
∴n2+4n=3，
∴n=-2-
| 7 |
| 7 |
∴F3（-2-
| 7 |
| 7 |
即：存在点F使得以点P、Q、E、F为顶点的平行四边形：
F1（-1，3），F2（-3，1），F3（-2-
| 7 |
| 7 |
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定和性质等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．（2）中弄清线段ME长度的函数意义是解题的关键．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（-1，0）、B（4，5）两点，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．
如图：某古城有一个抛物线形石拱门，拱门地面的最大宽度AB=4米，拱门的最大高度OC=4米．
如图所示，请你根据图中信息求出x的值．
如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC，连接AC、BD．在四边形ABCD的外部以BC为一边作等边三角形BCE，连接AE．