Question

【题目】如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，对称轴为直线，对称轴交轴于点.

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）设为对称轴上一动点，求周长的最小值；

（3）设为抛物线上一点，为对称轴上一点，若以点为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为 .

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根据抛物线上关于对称轴对称的点距离为2，可以直接写出点点的坐标，再根据点的坐标代入抛物线解析式即可求出b、c的值；

（2）因为AC为定值，根据“两点之间，线段最短”可确定P点的位置，然后用勾股定理即可求得周长的最小值；

（3）根据“菱形对角线互相垂直平分以及抛物线的对称性”可得到点D的坐标.

（1）抛物线与轴交于点、，且，

根据对称性，得，

∵对称轴为直线，

∴，，

∴点、的坐标分别为、，

把、两点坐标代入，

得到，

解得，

∴抛物线的解析式为：．

（2）如图中，连结，与对称轴交点则为点，连接、．

由线段垂直平分线性质，得，

∴，

∴，

根据“两点之间，线段最短”，得周长的最小，

∵为

∴，

在中，有，

在中，有，

∴的周长的最小值为：．

（3）如图中，当点为抛物线的顶点时，时，以点、、、为顶点的四边形是菱形，此时点

故答案为:．