Question

【题目】已知，，，在的延长线上任取一点，过点作的平行线交的延长线于点．

(1)当时，如图1，依题意补全图形，直接写出，，的数量关系；

(2)当时，如图2，判断，，之间的数量关系，并加以证明；

(3)当时()，请写出，，之间的数量关系并写出解题思路．

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3).

【解析】

（1）先根据已知条件画出图形，再根据等边三角形的性质即可得出结论；

（2）如图2，过作交延长线于点，易证四边形为平行四边形，为等腰直角三角形，则由等腰直角三角形的性质知，进一步即可得出结论；

（3）由(2)可知四边形为平行四边形，为等腰三角形，过点作于点，则，，然后在直角△BDN中，根据∠BDN的正弦可得BN、BD的关系，整理即可得出结论.

解：（1）图形如图1所示，

根据题意易知：△ABC与△ADE都是等边三角形，所以，，的数量关系为：．

（2）结论：．

理由：过作交延长线于点．

∵，，∴四边形为平行四边形．

∴．

∵，∴．

∵，∴．

∴．∴．

∴．∴．

∵，∴．

∴为等腰直角三角形．

在中，∵，∴．

∴．

（3）结论：．

理由：如图，辅助线同（2），则由(2)可知四边形为平行四边形，为等腰三角形，

过点作于点，则，．

在中，，∴.

于是．

故结论为：．