Question

5．探究题
如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（a+b）ⁿ（n为非负整数）的展开式中按a次幂从大到小排列的项的系数．规定任何非零数的零次幂为1，如（a+b）⁰=1
例如，（a+b）¹=a+b展开式中的系数1、1恰好对应图中第二行的数字；
（a+b）²=a²+2ab+b²展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；
（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字．
（1）请认真观察此图，写出（a+b）⁴的展开：（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴．
（2）请你探索第9行正中间的数字70．
（3）探究解决问题：已知a+b=3，a²+b²=5，求ab的值．

Answer 1

分析 （1）根据已知图形得出即可．
（2）第一行有1个数，第二行有2个数，那么第9行就有9个数，偶数行中间的两个数是相等的．第九行正中间的数应是第九行的第5个数．应该=第8行第4个数+第8行第5个数=2×第8行第4个数=2×（第7行第3个数+第7行第4个数）=2×[（第6行第2个数+第6行第3个数）+（第6行第3个数+第6行第4个数）]=2×（第6行第2个数+2第6行第3个数+第6行第4个数）=2×[5+2×（第5行第2个数+第5行第3个数）+（第5行第3个数+第5行第4个数）]=2×[5+2×（4+6）+6+4]=70；
（3）根据完全平方公式展开，代入求出即可．

解答 解：（1）（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴，
故答案为：a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴；

（2）2×[5+2×（4+6）+6+4]=70，
故答案为：70；

（3）（a+b）²=a²+b²+2ab，
∵a+b=3，a²+b²=5，
∴9=5+2ab，
∴ab=2

点评 本题考查了对完全平方公式的应用，杨辉三角最本质的特征是：它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．