Question

7．如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若BD：AD=1：4，则tan∠BCD=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 设BD=x，则AD=4x，然后根据已知条件可以证明△ADC∽△CDB，根据其对应边成比例求出CD=2x，最后根据tan∠BCD的定义即可求出其值．

解答 解：
∵BD：AD=1：4，设BD=x，则AD=4x．
在△ACD和△CBD中，∠A+∠B=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠CAD=∠BCD．
又∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴△ADC∽△CDB．
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{AD}{CD}$，即CD²=AD•BD，
∴CD²=4x²，
∴CD=2x．
那么tan∠BCD=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{x}{2x}$=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查三角函数的定义和相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质求得BD和CD的关系是解题的关键．