Question

9．如图，菱形ABCD的边长为1cm，∠BAD=120°，将菱形ABCD绕点B顺时针旋转a°（0°＜a＜180°），使BA与BC重合，则在旋转过程中，点D所走的路径$\widehat{DD′}$的长为$\frac{\sqrt{3}}{3}π$cm（结果不取近似值）

Answer 1

分析 连接AC，交BD于O，再证明△ABC是等边三角形，得出AC=AB，再求出BD，根据弧长公式即可得出结果．

解答 解：连接AC，交BD于O，如图所示：
∵菱形ABCD的边长为1cm，∠BAD=120°，
∴AB=BC，∠ABC=180°-120°=60°，OA=$\frac{1}{2}AC$，
∴∠ABO=30°，
∵BA与BC重合，
∴∠DBD′=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=1，OA=$\frac{1}{2}$，OB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴BD=2OB=$\sqrt{3}$，
∴点D所走的路径$\widehat{DD′}$的长为$\frac{60π•\sqrt{3}}{180}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}π$（cm）；
故答案为$\frac{\sqrt{3}}{3}π$．

点评 本题考查了菱形的性质、旋转的性质、弧长的计算方法；熟练掌握菱形的性质并能进行推理计算是解决问题的关键．