Question

7．我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事非．”如图，请你用“数形结合”的思想，依数形变化的规律，计算：
（1）S_阴影=$\frac{1}{2}$，S_阴影=S_全-S_空白=$1-\frac{1}{2}$；
（2）S_阴影=$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{4}$，S_阴影=S_全-S_空白=$1-\frac{1}{4}$；
（3）S_阴影=$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{4}$$+\frac{1}{8}$，S_阴影=S_全-S_空白1-$\frac{1}{8}$；
（4）S_阴影=$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{4}$$+\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$，S_阴影=S_全-S_空白=1-$\frac{1}{16}$；
（5）$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{4}$$+\frac{1}{8}$$+…+\frac{1}{{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（6）猜想1+2+4+8+…+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-1．

Answer 1

分析 利用（1）（2）的规律：每一个加数都是它前面加数的$\frac{1}{2}$，结果是1减去最后一个加数，类比的出得出（3）（4）（5）即可；
（6）每一个加数都是它前面加数得倍，结果是最后一个加数的2倍减1，由此得出答案即可．

解答 解：（1）S_阴影=$\frac{1}{2}$，S_阴影=S_全-S_空白=$1-\frac{1}{2}$；
（2）S_阴影=$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{4}$，S_阴影=S_全-S_空白=$1-\frac{1}{4}$；
（3）S_阴影=$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{4}$$+\frac{1}{8}$，S_阴影=S_全-S_空白=1-$\frac{1}{8}$；
（4）S_阴影=$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{4}$$+\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$，S_阴影=S_全-S_空白=1-$\frac{1}{16}$；
（5）$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{4}$$+\frac{1}{8}$$+…+\frac{1}{{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（6）猜想1+2+4+8+…+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-1．
故答案为：1-$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{4}$$+\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$，1-$\frac{1}{16}$，1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，2ⁿ⁺¹-1．

点评 此题考查图形的变化规律，利用图形的面积得出数字运算的规律是解决问题的关键．