Question

20．已知点D为等腰直角三角形ABC的斜边AB上一点，连接CD，DE⊥CD，DE=CD，连接AE，CE，求证：AE∥BC．

Answer 1

分析 利用相似三角形的判定方法得出△AFC∽△EFD，进而得出△AFE∽△CFD，求出∠EAF+∠CAD=90°，进而利用平行线的判定得出即可．

解答 证明：∵△ACB为等腰直角三角形，DE⊥CD，DE=CD，
∴∠CAB=∠CED=45°，
又∵∠AFC=∠EFD，
∴△AFC∽△EFD，
∴$\frac{AE}{EF}=\frac{FC}{FD}$，
∴$\frac{AF}{FC}=\frac{EF}{FD}$，
又∵∠AFE=∠DFC，
∴△AFE∽△CFD，
∴∠EAF=∠DCF=45°，
∴∠EAF+∠CAD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠EAC+∠ACB=180°，
∴AE∥BC．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法得出△AFE∽△CFD是解题关键．