Question

15．如图，直线y=-x+m与y=$\frac{4}{x}$只有唯一公共点C，与y=$\frac{k}{x}$交于A、B，且AC=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，求k．

Answer 1

分析 由题意得m=4，得出直线的解析式，进而求得E、F的坐标，得到△EOF是等腰直角三角形，从而得出C是EF和AB的中点，EF=4$\sqrt{2}$，∠EFO=45°，继而求得BF的长，根据勾股定理即可求得BG和GF，求得B的坐标，代入y=$\frac{k}{x}$即可求得k的值．

解答 解：∵线y=-x+m与y=$\frac{4}{x}$只有唯一公共点C，
由-x+m=$\frac{4}{x}$，整理得，x²-mx+4=0，
∴b²-4ac=m²-16=0，
解得m=±4，
∵直线交y轴正半轴，
∴m=4，
∴直线为y=-x+4，
∴E（0，4），F（4，0），
∴OE=OF=4，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴EF=4$\sqrt{2}$，∠EFO=45°，
∴C是EF和AB的中点，
∵AC=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
∴AB=3$\sqrt{2}$，
∴AE=BF=$\frac{1}{2}$（4$\sqrt{2}$-3$\sqrt{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
作BG⊥OF于G，
∴△BGF是等腰直角三角形，
∴BG=GF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BF=$\frac{1}{2}$，
∴B（$\frac{7}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴k=$\frac{7}{2}$×∽$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点，函数和方程的关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，证得△EOF是等腰直角三角形是解题的关键．