Question

20．如图，∠BAC=30°，M为AC上一点，AM=2，点P是AB上的一动点，PQ⊥AC，垂足为点Q，则PM+PQ的最小值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 本题作点M关于AB的对称点N，根据轴对称性找出点P的位置，如图，根据三角函数求出MN，∠N，再根据三角函数求出结论．

解答 解：作点M关于AB的对称点N，过N作NQ⊥AC于Q交AB于P，
则NQ的长即为PM+PQ的最小值，
连接MN交AB于D，则MD⊥AB，DM=DN，
∵∠NPB=∠APQ，
∴∠N=∠BAC=30°，
∵∠BAC=30°，AM=2，
∴MD=$\frac{1}{2}$AM=1，
∴MN=2，
∴NQ=MN•cos∠N=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查含30°直角三角形的性质、轴对称--最短路线问题及三角函数，正确确定P点的位置是解题的关键．