Question

9．如图1，在矩形ABCD中，AB＜BC＜2AB，点P、Q同时从点B出发，点P以每秒1个单位长度的速度沿B→A→D→C运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿B→C→D→A运动．当点P、Q相遇时，同时停止运动，设运动时间为t，△BPQ的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示，（其中0＜t≤4，4＜t≤6，6＜t≤m，m＜t＜n时，函数的解析式不同）
（1）填空：BC=8，AB=6；
（2）求出S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数图象和在矩形ABCD中，AB＜BC＜2AB，点P、Q同时从点B出发，点P以每秒1个单位长度的速度沿B→A→D→C运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿B→C→D→A运动，可以得到BC和AB的长；
（2）根据函数图象和第（1）问中求得的BC、AB的长，可以求得各段的函数解析式．

解答 解：（1）由函数图象可知，
点Q从B到C运动的时间为4秒，
故BC=2×4=8，
点P从点B运动到点A用的时间是6秒，
故AB=1×6=6，
故答案为：8，6；
（2）由图象可得，
当0＜t≤4时，$S=\frac{2t•t}{2}={t}^{2}$；
当4＜t≤6时，$S=\frac{t•8}{2}=4t$；
∵AB=6，BC=8，
∴m=$\frac{8+6}{2}=7$，n=$\frac{8+8+6+6}{3}=\frac{28}{3}$，
当6＜t≤7时，$S=6×8-\frac{（t-6）×6}{2}-\frac{8×（2t-8）}{2}-\frac{（6+8-t）（6+8-2t）}{2}$=-t²+10t，
当7＜t＜$\frac{28}{3}$时，S=$\frac{（8+6+8+6-2t-t）×6}{2}$=-9t+84，
即S=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}}&{0＜t≤4}\\{4t}&{4＜t≤6}\\{-{t}^{2}+10t}&{6≤t＜7}\\{-9t+84}&{7＜t＜\frac{28}{3}}\end{array}\right.$．

点评 本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．