Question

10．下面，我们来研究代数式x²+x+m的一些相关问题：
（1）如果对于任意的x，代数式x²+x+m的值都是正数，那么m的取值范围是什么？
（2）当m=-1时，代数式x²+x+m的值等于0，试求以下代数式的值：
①x²⁰¹⁰+x²⁰⁰⁹-x²⁰⁰⁸；
②x³+2x²-2010．

Answer 1

分析 （1）原式配方变形后，利用非负数的性质列出不等式，求出不等式的解集即可确定出m的范围；
（2）先由已知条件变形得到x²-x=1，再利用整体代入思想计算即可．

解答 解：（1）配方得：原式=${（{x+\frac{1}{2}}）^2}+m-\frac{1}{4}$，
∵x²+x+m的值都是正数，
∴$m-\frac{1}{4}＞0$，
得$m＞\frac{1}{4}$．
（2）当m=-1时，x²+x-1=0，
①x²⁰¹⁰+x²⁰⁰⁹-x²⁰⁰⁸=x²⁰⁰⁸（x²+x-1）=0；
②x³+2x²-2010=x（x²+x-1）+（x²+x-1）-2009=-2009；

点评 此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．