Question

如图，平面直角坐标系中点A（4，3），AB⊥x轴，AC⊥y轴，点B、C为垂足，直线y=-x+k分别与x轴、y轴、AB、AC交于点E、G、H（G、H与A不重合）．
（1）当k=5时，求△BEG与△CHF的面积比；
（2）当△OEH与△OFG相似时，求直线y=-x+k所表示的一次函数的解析式．

Answer 1

分析：（1）首先证明△BEG∽△CHF，然后求得对应边的比，依据相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可求解；
（2）依据△OEF是等腰直角三角形，若△OEH与△OFG相似，则一定有：△OEH∽△GFO，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得k的值．

解答：解：（1）∵AB∥OF，
∴△BEG∽△OEF，
同理，△△OEF∽△CHF，
∴△BEG∽△CHF，
∵y=-x+k，与x轴的交点是（k，0），与y轴的交点是（0，k），
∴△OEF是等腰直角三角形，
∴△BEG和△CHF都是等腰直角三角形．
则CF=CH=k-3，BE=BG=k-4，
当k=5时，CF=2，BG=1，
∴△BEG与△CHF的面积比=（1：2）²=1：4；

（2）△OEH与△OFG相似，则一定有：△OEH∽△GFO，
∴

OE

GF

=

EH

OF

，
∵△BEG和△CHF都是等腰直角三角形，且CF=CH=k-3，BE=BG=k-4，
∴FH=

2

（x-3），GE=

2

（k-4），EF=

2

k，
∴FG=

2

k-

2

（k-4）=

2

（5-k），EH=

2

k-

2

（k-3）=

2

（4-k），
∴

k

2 (5-k)

=

2 (4-k)

k

，
解得：k=2

6

，
则一次函数的解析式是：y=-x+2

6

．

点评：本题是一次函数与相似三角形的判定与性质的综合应用，理解△OEH与△OFG相似，则一定有：△OEH∽△GFO是关键．