Question

6．已知抛物线y=ax²+bx+c（a＜b＜0）与x轴最多有一个交点，现有以下结论：
①c＜0；②该抛物线的对称轴在y轴左侧；③关于x的方程ax²+bx+c+2=0有实数根；④对于自变量x的任意一个取值，都有$\frac{a}{b}$x²+x≥-$\frac{b}{4a}$，其中正确的为（　　）

• A． ①②
• B． ①②④
• C． ①②③
• D． ①②③④

Answer 1

分析 从抛物线与x轴最多一个交点及a＜b＜0，可以推断抛物线有最大值为0，对称轴在y轴左侧，并得到b²-4ac≤0，从而得到①②为正确，③错误；利用函数y=函数y=$\frac{a}{b}$x²+x=$\frac{a}{b}$（x²+$\frac{b}{a}$x）=$\frac{a}{b}$（x+$\frac{b}{2a}$）²-$\frac{b}{4a}$，根据函数的最值问题即可解决．④正确．

解答 解：∵a＜b＜0
∴-$\frac{b}{2a}$＜0，抛物线有最大值为0，
∴c＜0；该抛物线的对称轴在y轴左侧；
所以①正确；②正确；
∵抛物线与x轴最多有一个交点，
∴b²-4ac≤0，
∴关于x的方程ax²+bx+c+2=0中，△=b²-4a（c+2）=b²-4ac-8a，
∵a＜0，
∴-8a＞0，
当|b²-4ac|≥|8a|，则关于x的方程ax²+bx+c+2=0有实数根，
当|b²-4ac|＜|8a|，则关于x的方程ax²+bx+c+2=0无实数根，
∴关于x的方程ax²+bx+c+2=0的根的情况不确定；
所以③错误；
∵函数y=$\frac{a}{b}$x²+x=$\frac{a}{b}$（x²+$\frac{b}{a}$x）=$\frac{a}{b}$（x+$\frac{b}{2a}$）²-$\frac{b}{4a}$，
∵$\frac{a}{b}$＞0，
∴函数y有最小值-$\frac{b}{4a}$，
∴$\frac{a}{b}$x²+x≥-$\frac{b}{4a}$．所以④正确．
故选：B．

点评 本题考查了二次函数的解析式与图象的关系，解答此题的关键是要明确a的符号决定了抛物线开口方向；a、b的符号决定对称轴的位置；抛物线与x轴的交点个数，决定了b²-4ac的符号．