Question

3．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=30mm，高AD=20mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）设线段EG=a，EF=b，求a、b之间的关系式；
（3）当E点运动到何处时，矩形EGHF面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

分析 （1）根据矩形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可．
（2）根据相似三角形对应边的比等于对应高的比列出比例式，即可求解；
（3）根据矩形面积公式得到关于a的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值．

解答 解：（1）∵四边形EGHF为矩形，
∴BC∥EF，
∴△AEF∽△ABC；

（2）设线段EG=a，EF=b，
∵△AEF∽△ABC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AK}{AD}$，$\frac{b}{30}$=$\frac{20-a}{20}$，
∴a、b之间的关系式为b=30-$\frac{3}{2}$a；

（3）∵矩形EGHF面积=ab=a（30-$\frac{3}{2}$a）=-$\frac{3}{2}$a²+30a=-$\frac{3}{2}$（a-10）²+150，
故当a=10，即E点运动到AB的三等分点（靠近A）时，矩形的面积最大，最大面积为150mm²．

点评 本题考查的是相似三角形的应用，利用矩形的面积公式得到关于a的二次函数，根据二次函数的性质，确定a的取值和面积的最大值是解题关键．