Question

6．如图，正五边形ABCDE的对角线AC，BE相交于M，求证：四边形CDEM是菱形．

Answer 1

分析 根据正五边形的性质可得CD=DE，再求出∠D，再根据圆周角定理求出∠BED，从而得到∠D+∠BED=180°，然后根据同旁内角互补两直线平行求出BE∥CD，同理可得AC∥DE，然后判断出四边形CDEM是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形证明．

解答 证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴CD=DE，∠D=$\frac{1}{5}$×（5-2）×180°=108°，
由圆周角定理得，∠BED$\frac{2}{5}$×180°=72°，
∴∠D+∠BED=108°+72°=180°，
∴BE∥CD，
同理可得AC∥DE，
∴四边形CDEM是平行四边形，
又∵CD=DE，
∴四边形CDEM是菱形．

点评 本题考查了正多边形和圆，菱形的判定，主要利用了正五边形的性质，圆周角定理，熟记性质与定理并求出四边形的对边平行是解题的关键．