Question

【题目】如图，在正方形中，点分别是边上的两点，且分别交于.下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论是（ ）

A.②③④B.①④C.①②③D.①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

把△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADH，证明△AEF≌△AHF，利用全等三角形的性质可得①②正确；求出∠BAN＝∠AMD，根据∠ABN＝∠ADM＝45°，证明△ABN∽△MDA，利用相似三角形的性质可得④正确；求出∠AFE＝∠AMN，证明△AMN∽△AFE，利用相似三角形的性质可得③正确．

解：如图，把△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADH，易得H、D、F三点共线，

∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，

∴∠BAE＋∠DAF＝45°，

∴∠DAH＋∠DAF＝45°，

∴∠EAF＝∠HAF，

∵AE＝AH，AF＝AF，

∴△AEF≌△AHF，

∴EF＝FH，∠AFH＝∠AFE，

∴EF＝FH＝DH＋DF＝BE＋DF，AF平分∠DFE，故①②正确；

∵∠BAN＝∠BAM＋∠MAN＝∠BAM＋45°，∠AMD＝∠ABM＋∠BAM＝45°＋∠BAM，

∴∠BAN＝∠AMD，

∵∠ABN＝∠ADM＝45°，

∴△ABN∽△MDA，

∴，

∵AD＝AB，

∴AB2＝BNDM，故④正确；

∵AB∥CD，

∴∠DFA＝∠BAN，

∵∠AFE＝∠AFD，∠BAN＝∠AMD，

∴∠AFE＝∠AMN，

又∵∠MAN＝∠FAE，

∴△AMN∽△AFE，

∴，即AMAE＝ANAF，故③正确，

故选：D．