Question

20．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AO平分∠BAC，交CD于点O，E为AB上一点，且AE=AC．
（1）求证：△AOC≌△A0E；
（2）求证：OE∥BC．

Answer 1

分析 （1）由角平分线的定义可知∠CAO=∠EAO，依据SAS证明△AOC≌△A0E即可；
（2）由全等三角形的性质可知∠ACO=∠AEO，根据等角的余角相等可知∠DCB=∠DOE，从而可证明OE∥BC．

解答 解：（1）∵AO平分∠BAC，
∴∠CAO=∠EAO．
在△ACO和△AEO中$\left\{\begin{array}{l}{AC=AE}\\{∠CAO=∠EAO}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△A0E．
（2）∵△AOC≌△A0E，
∴∠ACO=∠AEO．
又∵∠ACO+∠DCB=90°，∠AEO+∠EOD=90°，
∴∠DCB=∠DOE．
∴OE∥BC．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、平行线的判定，利用等角的余角相等证得∠DCB=∠DOE是解题的关键．