Question

11．线段BD上有一点C，分别以BC、CD为边作等边三角形ABC和等边三角形ECD，连接BE交AC于M，连接AD交CE于N，连接MN，求证：
（1）∠1=∠2；
（2）CM=CN；
（3）△CMN为等边三角形．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到∠ACD=∠BCE=60°，AC=DC，EC=BC，推出∠ACE=∠DCB，证得△ACE≌△DCB（SAS），根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）由于∠ACD=∠BCE=60°，得到∠DCE=60°，求得∠ACD=∠MCN=60°，证得△ACM≌△DCN（ASA），根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）根据平角的定义得到∠MCN=180°-∠MCA-∠NCB=180°-60°-60°=60°，于是得到结论．

解答 解：（1）∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴∠ACD=∠BCE=60°，AC=DC，EC=BC，
∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB，
即∠ACE=∠DCB，
在△ACE与△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=DC}\\{∠ACE=∠DCB}\\{EC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠1=∠2；

（2）∵∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠MCN=60°，
在△ACM与△DCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{DC=AC}\\{∠DCE=∠ACD}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴CM=CN；

（3）∵∠MCN=180°-∠MCA-∠NCB=180°-60°-60°=60°，
∵CM=CN；
∴△CMN是等边三角形，

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质和判定，证得△ACE≌△DCB是解题的关键．