Question

【题目】如图，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，DE⊥BC于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）当AB＝4，∠C＝30°时，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）4．

【解析】

（1）连接OD，利用三角形中位线的性质可以得到OD∥BC，然后根据DE⊥BC即可得到OD⊥DE，从而判断DE是圆的切线；

（2）过点O作OF⊥AD，垂足为F，根据平行线的性质得出∠ADO的度数，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理得到∠AOD的度数和AD，OF的长度，然后利用扇形面积减去三角形面积即可求得阴影部分面积．

解：（1）连接OD，

∵AB是⊙O的直径，D是AC的中点，

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD∥BC，

∵DE⊥BC，

∴OD⊥DE，

∵点D在圆上，

∴DE为⊙O的切线；

（2）过点O作OF⊥AD，垂足为F，

∵OD∥BC，

∴∠ADO＝∠C ＝30°，

∵OD＝OA，

∴∠OAD＝∠ODA＝30°，

∴∠A＝∠C，∠AOD＝120°，

∴AB＝BC＝4，

∵OD是△ABC的中位线，

∴OD＝2， OF＝，

∴AF＝ =3，

∴AD＝2AF=6，

∴S△AOD＝ADOF＝×6×＝3，

∴阴影部分面积S＝﹣3＝．