题目内容
【题目】抛物线y＝﹣
+bx+c交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，直线AB的解析式为y＝
．
（1）求b，c的值；
（2）BA沿y轴翻折180°得到BA′，F为A′B上一点，BF的垂直平分线交y轴于点L，R为x轴上一点，BF+OR＝2，QR⊥FL于Q，求QR的长；
（3）在（2）的条件下，直线LF交x轴于点D，E为抛物线第一象限上一点，BE＝BD，∠ABE+∠ABD＝180°，求点E的坐标．
【答案】（1）b＝
，c＝2
；（2）QR=＝2；（3）
或
【解析】
（1）先求出A、B坐标再代入抛物线解析式即可算出b、c．
（2）设LQ延长线交x轴于点D，由题意可知LB＝LF，从而可确定∠DLO＝60°，因此只需求RD的长度就可以了，根据设而不求的思想，设BL＝LF＝m，分别表示出OL、OD、OR长度，OD﹣OR即是RD的长度，而QR是RD的一半．
（3）由∠ABE+∠ABD＝180°以及BE＝BD可以导出AB∥DE，作BP⊥AB交x轴于点P，连接EP，可证得△EDP是等边三角形，设D点横坐标为n，则可将E点坐标用n表示出来，再将E点坐标代入抛物线解析式即可求出n的值，也就求出了E点坐标．
（1）∵直线y＝x+2分别与x轴、y轴交于A、B两点，
∴A（﹣2，0），B（0，2），
∵抛物线y＝﹣
+bx+c经过A、B两点，
∴将A、B两点坐标代入抛物线解析析得：
﹣
﹣2b+c＝0，c＝2，
∴b＝，c＝2，
∴抛物线的解析为
．
（2）由题意知A'（2，0），
∴OA'＝2，
∴tan∠A'BO＝
，所以∠OBA'＝30°，
∵L为BF垂直平分线上的点，
∴LB＝LF＝m，
∴∠LFB＝∠LBF＝30°，
∴∠OLQ＝60°，BF＝m，
∴OL＝OB﹣LB＝2﹣m，
设LQ的延长线与x轴交于点D，则∠LDO＝30°，
∴OD＝OL＝6﹣m，
∵BF+OR＝2，
∴OR＝2﹣BF＝2﹣m，
∴RD＝OD﹣OR＝4，
∵RQ⊥FL，
∴QR＝
RD＝2．
（3）如图3，设G为AB延长上一点，作BP⊥AB交x轴于点P，
连接EP，作EH⊥x轴于H．
∵tan∠BAO＝
，
∴∠BAO＝60°，
∴∠BPA＝30°，
∵∠ABE+∠ABD＝∠ABE+∠GBE＝180°
∴∠ABD＝∠GBE，
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED，
∵∠ABD+∠DBE+∠GBE＝∠BDE+∠DBE+∠BED＝180°，
∴∠ABD＝∠GBE＝∠BDE＝∠BED，
∴AB∥DE，
∴∠EDP＝∠BAO＝60°，
∵BP⊥AB，
∴BP⊥DE，
∴PE＝PD，
∴△EDP是等边三角形，
∴PH＝DH＝ DP，
设D点坐标为（n，0），
∵OP＝OB＝6，
∴PD＝OP﹣OD＝6﹣n，
∴DH＝PH＝
∴E（
，
），
将E点坐标代入抛物线解析式解得n＝4或n＝
，
∴E点坐标为或．
