题目内容
【题目】如图1，在
中，
，
，
厘米，点
从点
开始沿
边向点
以每秒2厘米的速度移动，同时点
从点开始沿
边向点
以每秒1厘米的速度移动，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动．求：
（1）点从点出发，经过几秒
的面积等于1平方厘米？
（2）是否存在以点为圆心、
为半径的圆与直线
相切，若存在，求出经过几秒相切？若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点
是内的一个动点，且满足
，求线段
的最小值．
【答案】（1）经过1秒
的面积等于
平方厘米；（2）经过
秒相切；（3）线段
的最小值
【解析】
（1）首先设经过x秒的面积等于平方厘米，然后利用面积列出方程，求解即可；
（2）首先假设存在以点
为圆心、
为半径的圆与直线
相切，然后根据相切的性质和勾股定理，列出方程，求解即可；
（3）首先由
得出∠AMB=90°，将其转化为点M在以AC为直径的圆在△ABC内的弧上，则当B，M，O三点共线时最小，即可得解.
（1）设经过x秒的面积等于平方厘米，则BP=2x，PC=4-x，CQ=x
由题意，得
∴
化简得：x2-2x+1=0
∴x1=x2=1．
答：经过1秒的面积等于平方厘米；
（2）假设存在以点为圆心、为半径的圆与直线相切，如图设其切点为H，
∵AB与圆P相切，
∴PH⊥AB
∵∠ABC=90°-∠BAC=60°
∴∠BPH=30°
∴BH=
=x，PH=
在Rt△PCQ中，PQ2=PH2=CQ2+PC2
∴
解得：
由于点P的运动时间最大为2秒，故x2舍去
所以经过秒相切；
（3）∵∠MAC=∠MCB
∵∠ACM+∠BCM=∠BCM+∠CAM=90°，
∴∠AMB=90°
∴点M在以AC为直径的圆在△ABC内的弧上，如图所示：
∴当B，M，O三点共线时最小
BO=
，OM=OA=OB
∴BM=
答：线段的最小值.
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