Question

【题目】如图，在四边形中,．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为同时，点从点出发,沿方向匀速运动，速度为．过点作交于点,连接,交于点．设运动时间为．解答下列问题：

（1）当为何值时，?

（2）设五边形的面积为， 求与的函数关系式；

（3）连接．是否存在某一时刻, 使点在的垂直平分线上，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）当为时，2；（2）；（3）存在，当为时，点在的垂直平分线上．

【解析】

（1）如图1，作辅助线，构建平行线，证明QE∥DG，得，则，得EC=3t，由BE=2EC解方程可得t的值；
（2）如图2，作辅助线，构建两个三角形的高线FM，FH，先证明四边形MHCD是矩形，得MH=CD=8，HM⊥AD，证明△APF∽△BEF，列比例式可得HF=8-2t，最后利用面积差可得：y=S四边形ABCD-S△EFB-S△ECQ，代入面积公式可得结论；
（3）如图3，作辅助线，构建直角三角形，表示各边的长，利用勾股定理计算PE=10，PN=6，由△APF∽△BEF，得，表示PF和EF的长，利用勾股定理计算PM、MD的长，若点F在DE的垂直平分线上，则FE=FD，列方程可得t的值．

过点作,交于点

四边形是平行四边形

解得：

当为时，2

过点作,交为,交为

,

四边形是矩形

与的函数关系式是

过点作垂足为,则

若点在的垂直平分线上

则时，

当为时，点在的垂直平分线上。