Question

已知：△ABC中，AD为中线，∠BAD=60°，AB=10，BC=4

19

，求AC的长．

Answer 1

分析：由条件知，AC的位置分两种情况，一种为从点向AD作的垂线不三角形的内部，另一种是该线在三角形的外部，因而分别利用锐角三角函数的概念，勾股定理，全等三角形的性质来计算．

解答：解：分别过B、C作BF⊥AD于F，CE⊥AD于E，
在Rt△AFB中，∠BAF=60°，AB=10，
sin∠BAF=

BF

AB

，
∴BF=ABsin∠BAF=5

3

．
cos∠BAF=

AF

AB

，
∴AF=ABcos∠BAF=5．
BC=4

19

，AD为中线，
∴BD=DC=2

19

．
在Rt△BFD中，DF=

BD2-BF2

=

(2 17 )2-(5 3 )2

=1，
∵D为BC中点，∴BD=CD，
又CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠ADC=∠BDF．
∴△BDF≌△CDE（AAS）．
∴DE=DF=1．
∴AE=5-2=3，CE=BF=5

3

．
在Rt△AEC中，AC=

AE2+CE2

=

32+(5 3 )2

=2

21

，
又若△ABC'时，AE'=5+2=7，C'E'=5

3

，
在Rt△AE'C'中，A'C'=

AE′2+C′E′2

=2

31

，
∴AC的长为2

31

或2

21

．

点评：考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，也考查逻辑推理能力和运算能力．注意要分类讨论．