Question

11．如图，点P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，点A是切点，点B是⊙O上一点，且PA=PB，延长BO分别与⊙O，切线PA的延长线相交于C，Q两点．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）点D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为9，OQ=15，求$\frac{AE}{BE}$的值．

Answer 1

分析 （1）连接PO，证明△PAO与△PBO全等即可；
（2）设OP与AB交于点F，连接DF，则DF为△PAO中位线；根据勾股定理算出AQ，进而算出PB、PA，接着算出AE与EF之比，AE与BE之比也就自然可知了．

解答 解：（1）如图1，连接PO，

∵PA是⊙O的切线，A是切点，
∴OA⊥PA，
在△PAO和△PBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PB}\\{PO=PO}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
△PAO≌△PBO（SSS），
∴∠ABO=∠PAO=90°，
∴PB是⊙O的切线；
（2）如图2，设OP与AB交于点F，连接DF，

则OP垂直平分AB，
∴F为AB中点，
∵D为PB中点，
∴DF∥PA，DF=$\frac{1}{2}PA$，
∵OA=9，OQ=15，
∴AQ=12，
∵∠QBP=∠QAO=90°，
∴△QPB∽△POA，
∴$\frac{BQ}{PB}=\frac{AQ}{OA}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$，
∴PB=18，
∴PQ=30，
∴PA=18，
∵DF∥PQ，
∴$\frac{AE}{EF}=\frac{AQ}{DF}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$，
∵AF=BF，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{2}{5}$．

点评 本题考查了圆的切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、中位线、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，难度中等．熟悉切线的判定定理、性质定理是解答的关键．