Question

8．已知正方形ABCD，点B与坐标原点O重合，BC、BA分别在x轴和y轴上，对角线BD在射线OM上，点E在y轴上，OA、OE的长分别是2和6，正方形ABCD以每秒2个单位长度的速度沿射线OM（BD始终在射线OM上）方向移动，同时点P从点C以每秒1个单位长度的速度沿折线CD-DA向点A移动，当一点到达终点时，另一点也停止移动，设移动时间为t秒．
（1）当0≤t≤2时，直接写出点P的坐标（用t的代数式表示）．
（2）当四边形EABO是等腰梯形时，①求t的值；②求证：OA=ED
（3）是否存在这样的t值，使EP∥x轴，若有，求出点P的坐标，若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1中，延长AB交x轴于E，延长DC交x轴 于F，用t表示OF、PF即可解决问题．
（2）如图2中，①当四边形EABO是等腰梯形时，首先说明E、A、C共线，设EC与BD交于点F，根据OB=OF-BF求出OB即可解决问题．
②只要证明△EAD≌△OBA即可．
（3）分两种情形讨论①P在CD上，②P在AD上．

解答 解：（1）如图1中，延长AB交x轴于E，延长DC交x轴 于F，

在RT△OBE中，∵OB=2t，∠OEB=90°，∠BOE=45°，
∴OE=BE=$\sqrt{2}$t，
∵BC=EF=2，CF=BE=$\sqrt{2}$t，PC=t，
∴点P坐标（2+$\sqrt{2}$t，t+$\sqrt{2}$t）．


（2）如图2中，

①当四边形EABO是等腰梯形时，∠AEO=∠BOE=45°，
∵∠BAC=45°，AB∥EO，
∴E、A、C共线，设EC与BD交于点F，
在Rt△EOF中，∵∠EFO=90°，OE=6，EF=OF，
∴OE=OF=3$\sqrt{2}$，∵AF=BF=$\sqrt{2}$，
∴OB=2$\sqrt{2}$，
∴t=$\sqrt{2}$．
②∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABF=∠DAF=45°，AB=AD，
∴∠ABO=∠EAD=135°，
在△EAD和△OBA中，
$\left\{\begin{array}{l}{EA=OB}\\{∠EAD=∠ABO}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△EAD≌△OBA，
∴ED=OA．

（3）当点P在CD上时，∵EP∥x轴，
∴t+$\sqrt{2}$t=6，
∴t=6（$\sqrt{2}$-1）＜2$\sqrt{2}$不合题意，
当点P在AD上时，PE∥x轴，此时t=$\frac{6\sqrt{2}-2\sqrt{2}}{2}$=2$\sqrt{2}$，
此时点P的横坐标为6-（2$\sqrt{2}$-2）=8-2$\sqrt{2}$，
∴点P坐标为（8-2$\sqrt{2}$，6）．

点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰梯形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会添加辅助线构造全等三角形，属于中考压轴题．