Question

若等腰梯形ABCD的上、下底之和为4，并且两条对角线所夹锐角为60°，则该等腰梯形的面积为

 

．（结果保留根号的形式）

Answer 1

分析：根据题意作图，题中指出两条对角线所夹锐角为60°而没有指明是哪个角，所以做题时要分两种情况进行分析，从而得到最后答案．

解答：解：已知梯形的上下底的和是4，设AB+CD=4，
对角线AC与BD交于点O，经过点C作对角线BD的平行线CE交AB的延长线于点E．
（1）当∠DOC=60度时，∠ACE=60°，△ACE是等边三角形，边长AC=CE=AE=4，
作CF⊥AE，CF=4×sin60°=4×

3

2

=2

3

；
因而面积是

1

2

×4×2

3

=4

3

；
（2）当∠BOC=60度时，∠AOB=180°-60°=120°，又BD∥CE，∴∠ACE=∠AOB=120°，
∴△ACE是等腰三角形，且底边AE=4，
因而∠CEA=

180°-120°

2

=30°，作CF⊥AE，则AF=FE=2，CF=2×tan30°=

2 3

3

，
则△ACE的面积是

1

2

×4×

2 3

3

=

4 3

3

．
而△ACE的面积等于梯形ABCD的面积．
因而等腰梯形的面积为4

3

或

4

3

3

．

点评：此题考查等腰梯形的性质及梯形中常见的辅助线的作法，通过这条辅助线可以把两对角线的夹角的问题转化为三角形的角的问题．