Question

（2013•河北一模）平面上有且只有4个点，这4个点中有一个独特的性质：连接每两点可得到6条线段，这6条线段有且只有两种长度．我们把这四个点称作准等距点．例如正方形ABCD的四个顶点（如图1），有AB=BC=CD=DA，AC=BD．其实满足这样性质的图形有很多，如图2中A、B、C、O四个点，满足AB=BC=CA，OA=OB=OC．
（1）如图3，若等腰梯形ABCD的四个顶点是准等距点，且AD∥BC．写出相等的线段（不再添加字母）；
（2）利用（1）的结论，求∠BCD的度数．

Answer 1

分析：（1）由等腰梯形ABCD的四个顶点是准等距点，且AD∥BC，即可求得答案；
（2）由（1）易证得△ABC≌△DCB，继而可得∠BDC=∠BCD=2∠ACB，然后设∠ACB=x°，则∠BDC=∠BCD=2x°，∠DBC=x°，可得在△BDC中，2x+2x+x=180，继而可求得答案．

解答：解：（1）∵等腰梯形ABCD的四个顶点是准等距点，且AD∥BC，
∴AB=DC=AD，AC=BD=BC；

（2）∵等腰梯形ABCD的四个顶点是准等距点，
∴AC=BD，AB=DC，
在△ABC和△DCB中，

AC=BD AB=DC BC=CB

，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠DBC=∠ACB，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵DC=AD，
∴∠DAC=∠ACD，
∴∠ACD=∠ACB，
∵BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD=2∠ACB，
设∠ACB=x°，则∠BDC=∠BCD=2x°，∠DBC=x°，
∴在△BDC中，2x+2x+x=180，
解得x=36，
∴∠BCD=72°．

点评：此题考查了的等腰梯形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．