题目内容

图中的螺旋形由一系列直角三角形组成：△OA₀A₁是直角边为1的直角三角形，以△OA₀A₁的斜边OA₁为直角边，1为另一直角边，画第二个直角三角形…，依此类推
（1）求OA₃；
（2）写出第n个三角形的面积S_n；
（3）求 $数学公式$ 的值．

解：（1）由勾股定理得：OA₁= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
OA₂= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
OA₃= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2；

（2）由（1）得：第n个直角三角形的直角边是1和 $\text{[math]}$ ，
则第n个三角形的面积S_n= $\text{[math]}$ ×1× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；

（3）S₁= $\text{[math]}$ ×1×1= $\text{[math]}$ ，S₂= $\text{[math]}$ ×1× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，S₃= $\text{[math]}$ ×1× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 的值
=（ $\text{[math]}$ ）²+（ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）²+（ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）²+…+（ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）²
= $\text{[math]}$ ×（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）
= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据勾股定理求出各个斜边长即可；
（2）根据勾股定理求出各个斜边长即可；
（3）分别求出各个直角三角形的面积，再代入求出即可．
点评：本题考查了勾股定理的应用，注意：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，解此题的关键是求出各个斜边的长．