Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B 两点（点A在点B的左侧），顶点为C（0，1）．直线DB交y轴于点D，交抛物线于点P（2

3

，-3）．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点E是抛物线上的动点，若以A、B、P、E为顶点的四边形是梯形，求点E的坐标；
（3）连接AP，点F在直线AP上，设点F到直线DB的距离为m，点F到点D的距离为n，求m+n的最小值．

Answer 1

分析：（1）设抛物线顶点式解析式y=ax²+1，然后把点P的坐标代入进行计算即可得解；求出抛物线与x轴的交点A、B，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线DB的解析式，令x=0求出y的值即可得到点D的坐标；
（2）根据梯形的底边互相平行，分①AP∥BE，求出直线AP的解析式，再根据平行直线的解析式的k值相等求出直线BE的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点E的坐标；②AB∥PE，根据抛物线的对称性可得点E与点P关于y轴对称；③BP∥AE，根据平行直线的解析式的k值相等求出AE的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点E的坐标；
（3）过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，根据点A、B、P的坐标可以求出∠APM=60°，∠BPM=30°，∠APN=30°，然后求出PA是∠BPN的平分线，过点F作FH⊥PN于点H，连接DF、DH，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得FH=m，根据三角形的三边关系可得当点D、F、H三点共线时，m+n的值最小，此时，点F为直线AP与y轴的交点，m+n=PN，然后求解即可．

解答：解：（1）∵抛物线顶点为C（0，1），
∴设抛物线的解析式是y=ax²+1，
又∵点P（2

3

，-3）在抛物线上，
∴a（2

3

）²+1=-3，
解得a=-

1

3

，
∴抛物线的解析式为y=-

1

3

x²+1；
令y=0，则-

1

3

x²+1=0，
解得x₁=-

3

，x₂=

3

，
∵点A在点B的左侧，
∴点A（-

3

，0），点B（

3

，0），
设直线DP的解析式为y=kx+b，
则

3 k+b=0 2 3 k+b=-3

，
解得

k=- 3 b=3

，
∴直线DP的解析式为y=-

3

x+3，
令x=0，则y=3，
所以，点D的坐标为（0，3）；

（2）①AP∥BE时，设直线AP的解析式为y=ex+f，
则

- 3 e+f=0 2 3 e+f=-3

，
解得

e=- 3 3 f=-1

，
所以，直线AP的解析式为y=-

3

3

x-1，
设直线BE的解析式为y=-

3

3

x+g，
则-

3

3

×

3

+g=0，
解得g=1，
所以，直线BE的解析式为y=-

3

3

x+1，
联立

y=- 3 3 x+1 y=- 1 3 x2+1

，
解得

x1=0 y1=1

，

x2=- 3 y2=0

（为点B的坐标），
所以点E的坐标为（0，1）；
②AB∥PE时，∵抛物线关于y轴对称，
∴点E为点P（2

3

，-3）关于y轴的对称点，
∴点E（-2

3

，-3）；
③BP∥AE时，∵直线DP的解析式为y=-

3

x+3，
∴设直线AE的解析式为y=-

3

x+h，
则-

3

×（-

3

）+h=0，
解得h=-3，
∴直线AE的解析式为y=-

3

x-3，
联立

y=- 3 x-3 y=- 1 3 x2+1

，
解得

x1=4 3 y1=-15

，

x2=- 3 y2=0

（为点A坐标），
所以，点E坐标为（4

3

，-15），
综上所述，点E坐标为（0，1），（-2

3

，-3），（4

3

，-15）；

（3）如图，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，
∵A（-

3

，0），B（

3

，0），P（2

3

，-3），
∴tan∠APM=

AM

PM

=

3 +2 3

3

=

3

，
tan∠BPM=

BM

PM

=

2 3 - 3

3

=

3

3

，
∴∠APM=60°，∠BPM=30°，
∴∠APB=∠APM-∠BPM=60°-30°=30°，
又∵PN∥AM，
∴∠APN=∠PAM=90°-60°=30°，
∴∠APB=∠APN，
点F在直线AP上，过点F作FH⊥PN于点H，根据角平分线的性质可得FH=m，
连接DF、DH，根据三角形的三边关系，DF+FH＞DH，
即m+n＞DH，
所以，当点D、F、H三点共线时，m+n的最小值，
此时，点F为直线AP与y轴的交点，点H、N重合，
最小值m+n=3-（-3）=3+3=6．

点评：本题是二次函数的综合题型，主要涉及待定系数法求函数解析式（二次函数与直线解析式），梯形的对边平行的性质，解直角三角形求锐角的度数，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，以及三角形的三边关系，（1）利用顶点式解析式求解比较简单，（2）要注意分底边的不同进行讨论，（3）根据求出的角度的相等的角，利用角平分线的性质是解题的关键．