Question

如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于E，交⊙O于点F，且

BC

=

CF

（1）试判断DE与⊙O的位置关系并加以证明；
（2）若BD=

5

3

，AE=4，求∠BCD的正切值．

Answer 1

分析：（1）DE是⊙O的切线，连接OC，根据题意得∠1=∠2，∠3=∠2，则∠3=∠1，从而得出OC∥AE，根据AE⊥DE得出OC⊥DE，则DE是⊙O的切线；
（2）由OC∥AE，得

OC

AE

=

DO

DA

，设OC=t，代入即可得出t的值，即可求出CO，AB，再由切割线定理得出CD，则可证明△DBC∽△DCA，得出比例式BC：AC，根据∠BCD=∠2
即可得出∠BCD的正切值．

解答： （1）DE是⊙O的切线（1分）
证明：连接OC（如图）
∵

BC

=

CF

，∴∠1=∠2（2分）
∵⊙O是△ABC的外接圆
∴点C在圆上
∴OC=OA
∴∠3=∠2
∴∠3=∠1
∴OC∥AE（3分）
∵AE⊥DE，∴∠AED=90°
∴∠OCD=90°
∴OC⊥DC，即OC⊥DE
∴DE是⊙O的切线（4分）

（2）解：在△ADE中，由（1）知OC∥AE
∴

OC

AE

=

DO

DA

设OC=t
∵BD=

5

3

，AE=4
∴

t

4

=

5 3 +t

5 3 +2t

整理，得6t²-7t-20=0
解得t1=

5

2

，t2=-

4

3

经检验t₁，t₂均为原方程的解，由于线段长为非负，故舍去负值．
得OC=

5

2

（5分）
∴AB=5
∵DC切⊙O于点C，DBA是⊙O的割线
∴DC2=DB•DA=

5

3

(

5

3

+5)
∴DC=

10

3

（6分）
∵∠BCD=∠2，∠D是公共角，
∴△DBC∽△DCA
∴

BC

AC

=

DB

DC

=

5 3

10 3

 =

1

2

（7分）
由已知AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°，∴tan∠2=

BC

AC

=

1

2

∴tan∠BCD=tan∠2=

1

2

（8分）

点评：本题是一道综合题目，考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例，解直角三角形，是中考压轴题．