题目内容
（2012•资阳）已知a、b是正实数，那么，| a+b |
| 2 |
| ab |
（1）由(
| a |
| b |
| a+b |
| 2 |
| ab |
（2）填空：已知a、b、c是正实数，由
| a+b |
| 2 |
| ab |
| a+b+c |
| 3 |
| 3 | abc |
| 3 | abc |
（3）如图，已知AB是直径，点P是弧上异于点A和点B的一点，PC⊥AB，垂足为C，AC=a，BC=b，由此图说明
| a+b |
| 2 |
| ab |
分析：（1）由（
-
）2≥0，利用完全平方公式，即可证得
≥
恒成立；
（2）由a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ac）=
（a+b+c）[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]，可证得a3+b3+c3≥3abc，即可得
≥
也恒成立；
（3）首先证得Rt△APC∽Rt△PBC，由相似三角形的对应边成比例，可求得PC的值，又由OP是半径，可求得OP=
，然后由点到线的距离垂线段最短，即可证得
≥
恒成立．
| a |
| b |
| a+b |
| 2 |
| ab |
（2）由a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ac）=
| 1 |
| 2 |
| a+b+c |
| 3 |
| 3 | abc |
（3）首先证得Rt△APC∽Rt△PBC，由相似三角形的对应边成比例，可求得PC的值，又由OP是半径，可求得OP=
| a+b |
| 2 |
| a+b |
| 2 |
| ab |
解答：解：（1）∵（
-
）2≥0，
∴a-2
+b≥0，…（1分）
∴a+b≥2
，…（2分）
∴
≥
；…（3分）
（2）
…（6分）
理由：a3+b3+c3-3abc
=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ac）
=
（a+b+c）（2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac）
=
（a+b+c）[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]
∵a、b、c是正实数，
∴a3+b3+c3-3abc≥0，
∴a3+b3+c3≥3abc，
同理：
≥
也恒成立；
故答案为：
；
（3）如图，连接OP，
∵AB是直径，
∴∠APB=90°，
又∵PC⊥AB，
∴∠ACP=∠APB=90°，
∴∠A+∠B=∠A+∠APC=90°，
∴∠APC=∠B，
∴Rt△APC∽Rt△PBC，
∴
=
，
∴PC2=AC•CB=ab，
∴PC=
，…（7分）
又∵PO=
，
∵PO≥PC，
∴
≥
．…（8分）
| a |
| b |
∴a-2
| ab |
∴a+b≥2
| ab |
∴
| a+b |
| 2 |
| ab |
（2）
| 3 | abc |
理由：a3+b3+c3-3abc
=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ac）
=
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
∵a、b、c是正实数，
∴a3+b3+c3-3abc≥0，
∴a3+b3+c3≥3abc，
同理：
| a+b+c |
| 3 |
| 3 | abc |
故答案为：
| 3 | abc |
（3）如图，连接OP，
∵AB是直径，
∴∠APB=90°，
又∵PC⊥AB，
∴∠ACP=∠APB=90°，
∴∠A+∠B=∠A+∠APC=90°，
∴∠APC=∠B，
∴Rt△APC∽Rt△PBC，
∴
| PC |
| AC |
| CB |
| PC |
∴PC2=AC•CB=ab，
∴PC=
| ab |
又∵PO=
| a+b |
| 2 |
∵PO≥PC，
∴
| a+b |
| 2 |
| ab |
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、几何不等式的应用与证明以及完全平方公式等知识．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想的应用，注意完全平方式的非负性的应用．
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