Question

3．如图，反比例函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的图象与矩形ABCO的边BC交于点D，与边AB交与点E，直线DE与x轴、y轴分别交于点F、G．若△ODG与△ODF的面积比为2：7，则矩形ABCO的面积是14．

Answer 1

分析 设D（m，$\frac{4}{m}$），E（n，$\frac{4}{n}$），得到OC=AB=$\frac{4}{m}$，CD=m，AE=$\frac{4}{n}$，OA=BC=n，于是得到S_矩形ABCO=AB•BC=$\frac{4n}{m}$，根据相似三角形的性质得到$\frac{CD}{BD}=\frac{DG}{DE}$，得到$\frac{m}{n-m}=\frac{DG}{DE}$，同理得到$\frac{m}{n-m}=\frac{EF}{DE}$，得到DG=EF，根据全等三角形的性质得到CD=AF=m，CG=AE=$\frac{4}{n}$，根据△ODG与△ODF的面积比为2：7，列方程得到$\frac{4n}{m}$=14，即可得到结论．

解答 解：设D（m，$\frac{4}{m}$），E（n，$\frac{4}{n}$），
∴OC=AB=$\frac{4}{m}$，CD=m，AE=$\frac{4}{n}$，OA=BC=n，
∴S_矩形ABCO=AB•BC=$\frac{4n}{m}$，
∵∠GCD=∠B=90°，∠GDC=∠BDE，
∴△CDG∽△BDE，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{DG}{DE}$，
即$\frac{m}{n-m}=\frac{DG}{DE}$，
同理$\frac{AE}{BE}=\frac{EF}{DE}$，
即$\frac{\frac{4}{n}}{\frac{4}{m}-\frac{4}{n}}$=$\frac{EF}{DE}$，
∴$\frac{m}{n-m}=\frac{EF}{DE}$，
∴$\frac{DG}{DE}=\frac{EF}{DE}$，
∴DG=EF，
在△CDG与△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDF=∠AFE}\\{∠DCG=∠FAE}\\{DG=EF}\end{array}\right.$，
∴△CDG≌△AEF，
∴CD=AF=m，CG=AE=$\frac{4}{n}$，
∵△ODG与△ODF的面积比为2：7，
∴$\frac{\frac{1}{2}OG•CD}{\frac{1}{2}OF•OC}$=$\frac{2}{7}$，
∴$\frac{（\frac{4}{m}+\frac{4}{n}）m}{（m+n）•\frac{4}{m}}=\frac{2}{7}$，
∴$\frac{4n}{m}$=14（负值舍去），
∴矩形ABCO的面积是14．
故答案为：14．

点评 本题考查了反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|，主要通过设点的坐标结合矩形性质、反比例函数解析式及三角形全等表示出所需线段的长是关键．