Question

18．在平面直角坐标系中，直线l：y=-$\frac{1}{2}$x+4与x轴、y轴交于B、A两点，点D，C分别为线段AB，BO的中点，如图1，将△DCB绕点B按顺时针方向旋转角α，如图2．
（1）连结OC，AD，求证：△OBC∽△ABD；
（2）当0°＜α＜180°时，若△DCB旋转至A，C，D三点共线时，求线段OD的长；
（3）试探索：180°＜α＜360°时，是否还有可能存在A，C，D三点共线的情况？若存在，求出此直线的表达式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先确定出点A，B坐标，进而求出BD，CD，即可判断出△OBC∽△ABD；
（2）先确定出△ACB≌△BOA，进而判断出平行四边形AOBC是矩形，即可得出结论；
（3）先求出OC=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，进而利用勾股定理求出点C的坐标（$\frac{24}{5}$，-$\frac{12}{5}$），最后用待定系数法即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，由y=-$\frac{1}{2}$x+4得A（0，4）点C的坐标（$\frac{24}{5}$，-$\frac{12}{5}$），B（8，0），
则OA=4，OB=8，
∵AD=BD，OC=BC
∴CD=$\frac{1}{2}$OA=2，BC=4，BD=$\frac{1}{2}$AB，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{OB}$=$\frac{1}{2}$
∵∠ABO=∠DBC，
∴∠ABO+∠ABC=∠DBC+∠ABC．
∴∠OBC=∠ABD，
∴△OBC∽△ABD．

（2）当0°＜α＜180°，且A，C，D三点共线时，如图2，
∵∠BCD=90°，
∴∠ACB=90°．
∴∠ACB=∠BOA=90°．
又∵OA=BC=4，AB=BA，
∴△ACB≌△BOA．
∴AC=BO．
∴四边形AOBC是平行四边形        
又∵∠AOB=90°．
∴平行四边形AOBC是矩形．
∴∠AOC=90°，AC=OB=8．
∴AC=AD+CD=8+2=10．
∴OD=$\sqrt{O{A}^{2}+A{D}^{2}}$=2$\sqrt{29}$


（3）存在．

当180°＜α＜360°且A，C，D三点共线时，如图3，
连结OC，同（1）可得：△ABD∽△BOC．
∴$\frac{AD}{OC}=\frac{AB}{OB}=\frac{4\sqrt{5}}{8}=\frac{\sqrt{5}}{2}$
同（2）可得：△ACB≌△BOA．
∴AC=BO=8．
又CD=2，
∴AD=6．
∵$\frac{AD}{OC}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴$\frac{6}{OC}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴OC=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$
过点C作CM⊥y轴于M，设OM=y，MC=x．
在Rt△OMC和Rt△AMC中有：
$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=（\frac{12\sqrt{5}}{5}）^{2}}\\{（4+y）^{2}+{x}^{2}={8}^{2}}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{24}{5}}\\{y=\frac{12}{5}}\end{array}\right.$
∴点C的坐标（$\frac{24}{5}$，-$\frac{12}{5}$），
设直线AC的表达式y=kx+b
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{-\frac{12}{5}=\frac{24}{5}k+b}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$
所以所求直线AC的表达式为y=-$\frac{4}{3}$x+4

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，待定系数法，解（1）的关键是判断出$\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{OB}$=$\frac{1}{2}$，解（2）的关键是判断出△ACB≌△BOA解（3）的关键是求出点C的坐标（$\frac{24}{5}$，-$\frac{12}{5}$）．