Question

12．如图1，长方形OABC的边OA在数轴上，O为原点，长方形OABC的面积为12，OC边长为3．
（1）数轴上点A表示的数为4．
（2）将长方形OABC沿数轴水平移动，移动后的长方形记为O′A′B′C′，移动后的长方形O′A′B′C′与原长方形OABC重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S．
①当S恰好等于原长方形OABC面积的一半时，数轴上点A′表示的数为6或2．
②设点A的移动距离AA′=x．
ⅰ．当S=4时，x=$\frac{8}{3}$；
ⅱ．D为线段AA′的中点，点E在线段OO′上，且OE=$\frac{1}{3}$OO′，当点D，E所表示的数互为相反数时，求x的值．

Answer 1

分析 （1）利用面积÷OC可得AO长，进而可得答案；
（2）①首先计算出S的值，再根据矩形的面积表示出O′A的长度，再分两种情况：当向左运动时，当向右运动时，分别求出A′表示的数；
②i、首先根据面积可得OA′的长度，再用OA长减去OA′长可得x的值；
ii、此题分两种情况：当原长方形OABC向左移动时，点D表示的数为$4-\frac{1}{2}x$，点E表示的数为$-\frac{1}{3}x$，再根据题意列出方程；当原长方形OABC向右移动时，点D，E表示的数都是正数，不符合题意．

解答 解：（1）∵长方形OABC的面积为12，OC边长为3，
∴OA=12÷3=4，
∴数轴上点A表示的数为4，
故答案为：4．

（2）①∵S恰好等于原长方形OABC面积的一半，
∴S=6，
∴O′A=6÷3=2，
当向左运动时，如图1，A′表示的数为2
当向右运动时，如图2，
∵O′A′=AO=4，
∴OA′=4+4-2=6，
∴A′表示的数为6，
故答案为：6或2．

②ⅰ．如图1，由题意得：CO•OA′=4，
∵CO=3，
∴OA′=$\frac{4}{3}$，
∴x=4-$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$，
故答案为：$\frac{8}{3}$；  
ⅱ．如图1，当原长方形OABC向左移动时，点D表示的数为$4-\frac{1}{2}x$，点E表示的数为$-\frac{1}{3}x$，
由题意可得方程：4-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{3}$x=0，
解得：x=$\frac{24}{5}$，
如图2，当原长方形OABC向右移动时，点D，E表示的数都是正数，不符合题意．

点评 此题主要考查了一元一次方程的应用，数轴，关键是正确理解题意，利用数形结合列出方程，注意要分类讨论，不要漏解．