已知△ABC与△ADE都是等腰直角三角形.∠ACB=∠ADE=90°.AC=BC=4.AD=DE.点F是BE的中点.连接DF.CF．(1)如图1.当点D在AB上.且点E是AC的中点时.求CF的长．(2)如图1.若点D落在AB上.点E落在AC上.证明:DF⊥CF．(3)如图2.当AD⊥AC.且E点落在AC上时.判断DF与CF之间的关系.并说明理由．的条件下.若AD=2.求CF的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

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已知△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，AC=BC=4，AD=DE，点F是BE的中点，连接DF，CF．
（1）如图1，当点D在AB上，且点E是AC的中点时，求CF的长．
（2）如图1，若点D落在AB上，点E落在AC上，证明：DF⊥CF．
（3）如图2，当AD⊥AC，且E点落在AC上时，判断DF与CF之间的关系，并说明理由．
（4）在（3）的条件下，若AD=2，求CF的长．

分析（1）在直角△BCE中，利用“勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”解答；
（2）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DF=BF，根据∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，DF⊥BF；
（3）DF与CF相等且垂直．如图2，延长DE交BC于点G，连接FG，易证DG⊥BC．构建矩形ADGC，结合矩形的性质推知△DEF≌△CGF，由该全等三角形的性质推知：DF与CF相等且垂直．
（4）如图2，连接CD．根据勾股定理可知CD=2$\sqrt{5}$．再由等腰直角△CDF的性质和勾股定理得到：CF=CD÷$\sqrt{2}$=$\sqrt{10}$．

解答解：（1）如图1，∵AC=BC=4，点E是AC的中点，
∴EC=2．
在直角△BCE中，BE²=BC²+CE²=20，
∴BE=2$\sqrt{5}$．
∵CF是直角△BCE斜边上的中线，
∴CF=$\frac{BE}{2}$=$\sqrt{5}$；

（2）证明：如图1，∵∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点
∴DF=$\frac{1}{2}$BE，CF=$\frac{1}{2}$BE，
∴DF=CF．
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°
∵BF=DF，
∴∠DBF=∠BDF，
∵∠DFE=∠ABE+∠BDF，
∴∠DFE=2∠DBF，
同理得：∠CFE=2∠CBF，
∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°，
∴DF⊥CF．

（3）DF与CF相等且垂直．
如图2，延长DE交BC于点G，连接FG，易证DG⊥BC．
∵∠DEA=45°，
∴∠BEG=45°，∠DEF=135°．
又∵∠B=45°，
∴BG=EG．
∵点F是BE的中点，
∴FG=FE，FG⊥BE，∠EGF=45°，
∴∠FGC=∠EGF+EGC=135°，
∴∠DEF=∠CGF．
又∵∠ADE=90°，∠ACB=90°，DG⊥BC，
∴四边形ADGC是矩形，
∴AD=GC，
∴DE=GC，
∴△DEF≌△CGF，
∴∠DFE=∠CFG，DF=CF．
∵∠DFE+∠CFE=90°，
∴CF⊥DF，
∴DF与CF相等且垂直．

（4）如图2，连接CD．
∵AD=2，AC=4，根据勾股定理可知CD=2$\sqrt{5}$．
而根据（3）可知，△CDF是等腰直角三角形，
∴CF=CD÷$\sqrt{2}$=$\sqrt{10}$．