Question

2．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；
（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF，
在△BOE和△DOF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OBE=∠ODF}&{\;}\\{OB=OD}&{\;}\\{∠BOE=∠DOF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO=FO，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，
设BE=x，则 DE=x，AE=6-x，
在Rt△ADE中，DE²=AD²+AE²，
∴x²=4²+（6-x）²，
解得：x=$\frac{13}{3}$，
∵BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∴OB=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{13}$，
∵BD⊥EF，
∴EO=$\sqrt{B{E}^{2}-O{B}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{13}}{3}$，
∴EF=2EO=$\frac{4\sqrt{13}}{3}$．

点评 本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键．