Question

11．两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC与BD相交于点O，下列判断正确的有（　　）
①AC⊥BD；
②AC、BD互相平分；
③AC平分∠BCD；
④∠ABC=∠ADC=90°；
⑤筝形ABCD的面积为$\frac{1}{2}$AC•BD．

• A． ①③⑤
• B． ①③④
• C． ③④⑤
• D． ①④⑤

Answer 1

分析 ①根据垂直平分线的性质得出AC是BD的垂直平分线，得AC⊥BD；
②由①可得OB=OD，但AD≠CD，所以OA≠OC，可知AC、BD互相不平分．
③根据题意AB=AD，BC=DC，AC与BD相交于点O可以证明△ABC≌△ADC，可得AC平分∠BAD、∠BCD．
④由全等可知：∠ABC=∠ADC，但角度的大小不确定；
⑤代入三角形面积公式，求和可得结论．

解答 解：①：∵AB=AD，
∴点A在BD的垂直平分线上，
∵BC=DC，
∴点C在BD的垂直平分线上，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，
故①正确；

③∵在△ABC与△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{BC=DC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC（SSS）．
∴∠BAO=∠DAO，∠BCO=∠DCO，即AC平分∠BCD．
故③正确；

②∵AC平分∠BAD、∠BCD，△ABD与△BCD均为等腰三角形，
∴AC、BD互相垂直，但不平分．
故②错误；

④由全等可知：∠ABC=∠ADC，但角度的大小不确定；如图1和图2；
故④错误；

⑤∵AC、BD互相垂直，
∴筝形ABCD的面积为：$\frac{1}{2}$AC•BO+$\frac{1}{2}$AC•OD=$\frac{1}{2}$AC•BD．
故⑤正确；
综上所述，正确的说法是①③⑤．
故选A．

点评 本题考查线段垂直平分线的性质、三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．再运用全等三角形的性质可得相应的结论．