Question

16．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E为OB的中点，连接CE并延长交⊙O于点F，点F恰好落在$\widehat{AB}$的中点，连接AF并延长与CB的延长线相交于点G，连接OF．
（1）求证：OF=$\frac{1}{2}$BG；
（2）若AB=4，求DC的长．

Answer 1

分析 （1）直接利用圆周角定理结合平行线的判定方法得出FO是△ABG的中位线，即可得出答案；
（2）首先得出△FOE≌△CBE（ASA），则BC=FO=$\frac{1}{2}$AB=2，进而得出AC的长，再利用相似三角形的判定与性质得出DC的长．

解答 （1）证明：∵以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，点F恰好落在$\widehat{AB}$的中点，
∴$\widehat{AF}$=$\widehat{BF}$，
∴∠AOF=∠BOF，
∵∠ABC=∠ABG=90°，
∴∠AOF=∠ABG，
∴FO∥BG，
∵AO=BO，
∴FO是△ABG的中位线，
∴FO=$\frac{1}{2}$BG；

（2）解：在△FOE和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FOE=∠CBE}\\{EO=BE}\\{∠OEF=∠CEB}\end{array}\right.$，
∴△FOE≌△CBE（ASA），
∴BC=FO=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
连接DB，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠ABC，
∵∠BCD=∠ACB，
∴△BCD∽△ACB，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{CD}{BC}$，
∴$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{DC}{2}$，
解得：DC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，正确得出△BCD∽△ACB是解题关键．