Question

7．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”
（1）概念理解：
请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；
（2）问题探究：
如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；
（3）应用拓展：
如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．

Answer 1

分析 （1）矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”条件；
（2）AC=BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示，根据PE、PF分别为AD、BC的垂直平分线，得到两对角相等，利用等角对等角得到两对角相等，进而确定出∠APC=∠DPB，利用SAS得到三角形ACB与三角形DPB全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，由S_{四边形ACBD′}=S_△ACE-S_△BED′，求出四边形ACBD′面积；（ii）当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E，如图3（ii）所示，由S_{四边形ACBD′}=S_△AED′+S_{矩形ECBD′}，求出四边形ACBD′面积即可．

解答 解：（1）矩形或正方形；
（2）AC=BD，理由为：
连接PD，PC，如图1所示：

∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，
∴PA=PD，PC=PB，
∴∠PAD=∠PDA，∠PBC=∠PCB，
∴∠DPB=2∠PAD，∠APC=2∠PBC，即∠PAD=∠PBC，
∴∠APC=∠DPB，
∴△APC≌△DPB（SAS），
∴AC=BD；
（3）分两种情况考虑：
（i）当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，
如图3（i）所示，

∴∠ED′B=∠EBD′，
∴EB=ED′，
设EB=ED′=x，
由勾股定理得：4²+（3+x）²=（4+x）²，
解得：x=4.5，
过点D′作D′F⊥CE于F，
∴D′F∥AC，
∴△ED′F∽△EAC，
∴$\frac{D′F}{AC}$=$\frac{ED′}{AE}$，即$\frac{D′F}{4}$=$\frac{4.5}{4+4.5}$，
解得：D′F=$\frac{36}{17}$，
∴S_△ACE=$\frac{1}{2}$AC×EC=$\frac{1}{2}$×4×（3+4.5）=15；S_△BED′=$\frac{1}{2}$BE×D′F=$\frac{1}{2}$×4.5×$\frac{36}{17}$=$\frac{81}{17}$，
则S_{四边形ACBD′}=S_△ACE-S_△BED′=15-$\frac{81}{17}$=10$\frac{4}{17}$；
（ii）当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E，
如图3（ii）所示，

∴四边形ECBD′是矩形，
∴ED′=BC=3，
在Rt△AED′中，根据勾股定理得：AE=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴S△AED′=$\frac{1}{2}$AE×ED′=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{7}$×3=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$，S_{矩形ECBD′}=CE×CB=（4-$\sqrt{7}$）×3=12-3$\sqrt{7}$，
则S_{四边形ACBD′}=S_△AED′+S_{矩形ECBD′}=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$+12-3$\sqrt{7}$=12-$\frac{3\sqrt{7}}{2}$．

点评 此题属于几何变换综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，垂直平分线定理，等腰三角形性质，以及矩形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．