Question

11．如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过x轴上一点C，与y轴分别交于A、B两点，连接AP并延长分别交⊙P、x轴于点D、E，连接DC并延长交y轴于点F，若点F的坐标为（0，1），点D的坐标为（6，-1）．
（1）求证：DC=FC；
（2）判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；
（3）求⊙P的半径的长．

Answer 1

分析 （1）过点D作DH⊥x轴于点H，则∠CHD=∠COF=90°，根据点F的坐标为（0，1），点D的坐标为（6，-1），得到DH=OF，证得△FOC≌△DHC，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）如图，连接CP．根据AP=PD，DC=CF，得到CP∥AF，根据平行线的性质得到∠PCE=∠AOC=90°，即PC⊥x轴．根据切线的判定即可得到结论；
（3）根据三角形的中位线的性质得到AF=2CP，由AD=2CP，等量代换得到AD=AF，连接BD．根据圆周角定理得到BD=OH=6，OB=DH=FO=1，设AD的长为x，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 （1）证明：过点D作DH⊥x轴于点H，则∠CHD=∠COF=90°，
∵点F的坐标为（0，1），点D的坐标为（6，-1），
∴DH=OF，
∵在△FOC与△DHC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FCO=∠DCH}\\{∠FOC=∠DHC=90°}\\{OF=HD}\end{array}\right.$，
∴△FOC≌△DHC（AAS），
∴DC=FC；

（2）⊙P与x轴相切，
理由如下：
如图，连接CP．
∵AP=PD，DC=CF，
∴CP∥AF，
∴∠PCE=∠AOC=90°，即PC⊥x轴．
又PC是半径，
∴⊙P与x轴相切；

（3）解：由（2）可知，CP是△DFA的中位线，
∴AF=2CP，
∵AD=2CP，
∴AD=AF．连接BD．
∵AD是⊙P的直径，
∴∠ABD=90°，
∴BD=OH=6，OB=DH=FO=1，
设AD的长为x，则在直角△ABD中，由勾股定理，得
x²=6²+（x-2）²，
解得 x=10，
∴⊙P的半径为5．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定定理，圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．