Question

13．如图，已知A（2$\sqrt{3}$，2）、B（2$\sqrt{3}$，1），将△AOB绕着点O逆时针旋转，使点A旋转到点A′（-2，2$\sqrt{3}$）的位置，则图中阴影部分的面积为$\frac{3}{4}$π．

Answer 1

分析 由A（2$\sqrt{3}$，2）使点A旋转到点A′（-2，2$\sqrt{3}$）的位置易得旋转90°，根据旋转的性质可得，阴影部分的面积等于S_扇形A'OA-S_扇形C'OC，从而根据A，B点坐标知OA=4，OC=OB=$\sqrt{13}$，可得出阴影部分的面积．

解答 解：∵A（2$\sqrt{3}$，2）、B（2$\sqrt{3}$，1），
∴OA=4，OB=$\sqrt{13}$，
∵由A（2$\sqrt{3}$，2）使点A旋转到点A′（-2，2$\sqrt{3}$），
∴∠A′OA=∠B′OB=90°，
根据旋转的性质可得，S${\;}_{{OB}^{′}{C}^{′}}$=S_OBC，
∴阴影部分的面积等于S_扇形A'OA-S_扇形C'OC=$\frac{1}{4}$π×4²-$\frac{1}{4}$π×（$\sqrt{13}$）²=$\frac{3}{4}π$，
故答案为：$\frac{3}{4}$π．

点评 此题主要考查了扇形的面积计算及旋转的性质，解答本题的关键是根据旋转的性质得出S_OB′C′=S_OBC，从而得到阴影部分的表达式．