Question

16．如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC与∠ACD的角平分线交于点O．
（1）若∠ABC=66°，∠ACB=34°，则∠A=80°，∠O=40°；
（2）探索∠A与∠O的数量关系，并说明理由；
（3）若AB∥CO，AC⊥BO，求∠ACB的度数．

Answer 1

分析 （1）由三角形内角和定理可求∠A，求出∠OBC，和∠BCO，再由三角形内角和定理即可求出结论；
（2）由题中角平分线可得∠O=∠OCD-∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ACD-$\frac{1}{2}$∠ABC，进而得出∠A=180°-∠ABC-180°+∠ACD=∠ACD-∠ABC，即可得出结论；
（3）AC与BO交于点E，由OC∥AB，证得∠ABO=∠O，由AC⊥BO，证得∠AEB=90°，故2∠O+∠O=90°，进而证得∠A=60°，∠ABC=2∠ABO即可证得结论．

解答 解：（1）∵∠ABC=66°，∠ACB=34°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=80°，
∵∠ABC与∠ACD的角平分线交于点O，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=33°，∠OCD=$\frac{1}{2}$（180°-34°）=73°，
∴∠O=∠OCD-∠OBC=40°，
故答案为：80、40；

（2）∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵CO平分∠ACD，
∴∠ACO=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∵∠AEB=∠CEO，
∵∠A+∠ABO=∠O+∠ACO，
∴∠A+∠ABO=∠O+$\frac{1}{2}$∠ACD，
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC=∠A+2∠ABO，
∴∠A+∠ABO=∠O+$\frac{1}{2}$∠A+∠ABO，
∴$\frac{1}{2}$∠A=∠O；

（3）如图，AC与BO交于点E，
∵OC∥AB，
∴∠ABO=∠O，
∵AC⊥BO，
∴∠AEB=90°，
∴∠A+∠ABO=90°，
∴2∠O+∠O=90°，
∴∠O=30°，
∴∠A=60°，∠ABC=2∠ABO=60°，
∴∠ACB=60°．

点评 本题主要考查了三角形的内角和定理以及外角的性质问题，平行线的性质，能够掌握并熟练运用平行线的性质是解决问题的关键．