Question

14．操作：将一把三角尺放在正方形ABCD中，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动．直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．探究：
①当点Q在DC上时（如图②），线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试说明你的结论．
②当点Q在DC延长线上时（如图③），①中的结论还成立吗？请说明理由．
③若AB=1，AP=X，是否存在点P（P与A不重合），使△PCQ为等腰三角形？若存在，求X的值，不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点P作正方形对边CD、AB的垂线垂足为M、N，可以证明△PMQ≌△BNP，从而得出BP=QP；
（2）过点P作正方形对边CD、AB的垂线垂足为M、N，可以证明△PMQ≌△BNP，从而得出BP=QP；
（3）△PCQ可以成为等腰三角形．当点Q在DC边上时，利用勾股定理可得到x的方程；当点Q在DC的延长线上时，由PQ=CQ，可得到x的方程；当Q与点C重合时，不满足条件；从而可求得满足条件的x的值．

解答 解：
（1）证明：
如图1，过点P作PN⊥AB于N，PN交CD于点M，
在正方形ABCD中，AB∥CD，∠ACD=45°
∴∠PMQ=∠PNB=∠CBN=90°，
∴CBNM是矩形，
∴CM=BN，
∴△CMP是等腰直角三角形，
∴PM=CM=BN，
∵∠PBN+∠BPN=90°，∠BPN+∠MPQ=90°，
∴∠MPQ=∠PBN，
在△PMQ和△BNP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MPQ=∠PBN}\\{∠PNB=∠PMQ=90°}\\{BN=PM}\end{array}\right.$，
∴△PMQ≌△BNP，（AAS）
∴BP=QP；

（2）成立；
理由：如图2，过点P作PN⊥AB于N，PN交CD于点M，
在正方形ABCD中，AB∥CD，∠ACD=45°
∴∠PMQ=∠PNB=∠CBN=90°，
∴CBNM是矩形，
∴CM=BN，
∴△CMP是等腰直角三角形，
∴PM=CM=BN，
∵∠PBN+∠BPN=90°，∠BPN+∠MPQ=90°，
∴∠MPQ=∠PBN，
在△PMQ和△BNP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MPQ=∠PBN}\\{∠PNB=∠PMQ=90°}\\{BN=PM}\end{array}\right.$，
∴△PMQ≌△BNP（AAS），
∴BP=QP；

（3）△PCQ可能成为等腰三角形．
①当点Q在边DC上，
由PQ²=CQ²得：（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）²=（1-$\sqrt{2}$x）²
解得x₁=0，x₂=$\sqrt{2}$（舍去）；
②当点Q在边DC的延长线上时，如图2，
由PC=CQ得：$\sqrt{2}$-x=$\sqrt{2}$x-1，解得x=1．
③当点Q与C点重合，△PCQ不存在．
综上所述，x=0或1时，△PCQ为等腰三角形．

点评 本题主要考查四边形的综合应用，涉及正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理等知识．在（3）中利用分类讨论思想分别得到关于x的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，有一定的难度．搞清楚正方形对角线上点的特点，正方形中的三角形的三边关系，有助于提高解题能力．