题目内容
5．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的一种图形的名称长方形，正方形．
（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0）、A（3，0）、B（0，4）．
①若M为格点，请你画出所有以OA、OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；
②若M是第一象限内的动点，四边形OAMB是以OA、OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形，求点M的运动路径与射线OA、OB围成的封闭图形的面积．
（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连结AD、DC，∠DCB=30°．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
分析 （1）只要四边形中有一个角是直角，根据勾股定理就有两直角边平方的和等于斜边的平方，即此四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，由此可知，正方形、长方形、直角梯形都是勾股四边形．
（2）①利用勾股定理计算画出即可；②根据正方形和三角形的面积公式即可得到结论；
（3）首先证明△ABC≌△BDC，得出AC=DE，BC=BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形；利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解．
解答 
解：（1）是勾股四边形的图形的名称：长方形，正方形；
故答案是：长方形，正方形；
（2）①如图（1），点M（3，4）或M（4，3）；
②点M的运动路径与射线OA、OB围成的封闭图形的面积=4×4-$\frac{1}{2}×$3×1-$\frac{1}{2}$×3×1-$\frac{1}{2}×$3×4=7；
（3）证明：如图（2），连结EC．
根据旋转的性质知△ABC≌△DBE，则BC=BE，AC=DE．
又∵∠CBE=60°，
∴△CBE是等边三角形，
∴∠BCE=60°，BC=EC
又∵∠DCB=30°
∴∠BCE+∠DCB=90°即∠DCE=90°，
∴DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
点评 本题考查了四边形的综合，勾股定理，旋转的性质，解答本题的关键是仔细审题，了解勾股四边形的定义及性质，难点在第三问，注意等量代换法的应用．
练习册系列答案
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14．下面4个图案，其中不是轴对称图形的是（ ）
| A． |  | B． |  | C． |  | D． |  |
如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点A和B，其中点A的坐标为（-2，0），对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．
如图，在平面直角坐标系中，OA=2，OB=3，现同时将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移2个单位，分别得到点A、B的对应点C、D，连接AC、BD
