Question

12．如图，∠MAN=60°，点B在射线AM上，AB=4，点P为直线AN上一动点，以BP为边作等边三角形BPQ（点B，P，Q按顺时针排列），点O是△BPQ的外心．
（1）如图1，当OB⊥AM时，点O在∠MAN的平分线上（填“在”或“不在”）；
（2）求证：当点P在射线AN上运动时，总有点O在∠MAN的平分线上；
（3）当点P在射线AN上运动（点P与点A不重合）时，AO与BP交于点C，设AP=m，用m表示AC•AO；
（4）若点D在射线AN上，AD=2，圆I为△ABD的内切圆．当△BPQ的边BP或BQ与圆I相切时，请直接写出点A与点O的距离．

Answer 1

分析 （1）先求得∠BOP=120°，在四边形ABOP中依据四边形的内角和是360°可求得∠APO的度数，然后依据角平分线的逆定理证明即可；
（2）连接OB、OP、OA，由∠A=60°，∠BOP=120°，可证明A、B、O、P四点共圆，然后依据同圆和等圆中相等的弦所对的圆周角相等可得到∠BAO=∠PAO；
（3）连接OB、OP、AO．先证明△ABO∽△ACP，由相似三角形的性质可知AC•AO=AB•PA，从而可求得答案；
（4）如图4所示：当点P与点D重合时．先证明三角形AOB为直角三角形，然后依据特殊锐角三角函数值可求得AO的长；如图5所示：当点A与点P重合时．先证明△AOD为直角三角形，然后依据特殊锐角三角函数值可求得AO的长；如图6所示：证明∠OBD=∠ABD=30°，从而得到点A与点O重合．

解答 解：（1）在．
理由：如图1所示：连接OP．

∵点O为等边△BQP的外心，
∴∠BOP=2∠BQP=120°，OB=OP．
∵OB⊥AM，
∴∠ABO=90°．
∵∠A+∠ABO+∠BOP+∠OPA=180°，
∴∠OPA=90°．
∴OP⊥AN．
∵OP=OB，OP⊥AN，OB⊥AM，
∴点O在∠MAN的平分线上．
（2）当点A与点P不重合时，如图2所示：连接OB、OP、OA．

∵点O是等边三角形BOQ的外心，
∴∠BOP=120°，OP=OB．
∵∠BAP=60°，
∴∠BAP+∠BOP=180°．
∴点A、B、O、P共圆．
又∵OB=OP，
∴∠BAO=∠PAO．
∴点O在MAN的角平分线上．
当点P与点A重合时．
∵点O是等边三角形BOQ的外心，
∴PO平分∠BPQ．
∵∠BPQ与∠MAN重合，
∴∠PO平分∠MAN．
综上所示，总有点O在∠MAN的平分线．
（3）如图3所示：连接OB、OP、AO．

∵由（2）可知点B、O、P、A共圆，
∴∠BOA=∠BPA．
∵AO平分∠MAN，
∴∠BAO=∠PAO．
∴△ABO∽△ACP．
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AO}{AP}$．
∴AC•AO=AB•PA．
∴AC•AO=4m．
（4）如图4所示：当点P与点D重合时．

∵∠BAP=60°，BA=4，AD=2，
∴BP⊥AP．
∴∠BPA=90°．
又∵∠PAC=$\frac{1}{2}$∠MAN=30°，
∴∠OCB=∠ACP=60°．
∵O为等边三角形的外心，
∴∠OBC=30°．
∴∠BOC=90°．
在Rt△AOB中，OA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=2$\sqrt{3}$．
如图5所示：当点A与点P重合时．

∵∠BAD=60°，BA=4，AD=2，
∴BD⊥AQ．
∴∠BDA=90°．
∵在Rt△AOD中，∠DAO=30°，AD=2，
∴AO=AD÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
如图6所示：

∵∠BAD=60°，BA=4，AD=2，
∴BD⊥AN．
∴∠BDA=90°．
∴∠ABD=30°
∵O为△BPQ的外心，
∴∠OBD=30°．
∴点A与点O重合．
∴OA=0．
综上所述，OA=2$\sqrt{3}$或OA=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$或AO=0．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了相似三角形的性质和判定、四点共圆、角平分线的判定定理、三角形的外心的性质、圆周角定理的，画出符合题意的图形，并恰当作出辅助线是解题的关键．